Qual é o seno de 120 graus?

PorCristiano Eid

Muita gente já escutou falar em seno, cosseno e tangente nas aulas de matemática, mas quando aparece uma questão com um ângulo como 120 graus, a confusão começa. Afinal, qual é o valor exato desse seno? Por que ele dá um número com raiz e não um decimal simples? E de onde sai essa conta?

O seno de 120 graus é um dos valores mais conhecidos da trigonometria e aparece em provas, exercícios de vestibular, concursos e até em situações práticas, como cálculos de engenharia e física. Neste guia, vamos explicar de forma clara e passo a passo como encontrar esse valor, além de mostrar as relações com outros ângulos e por que o resultado é √3/2.

O que é seno?

Definição no triângulo retângulo

O seno é uma razão trigonométrica. No caso de um triângulo retângulo, ele é definido como:

seno=cateto opostohipotenusa\text{seno} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}seno=hipotenusacateto oposto​

Isso significa que, dado um ângulo, você pega o comprimento do lado oposto a ele e divide pelo comprimento da hipotenusa. O resultado é o seno desse ângulo.

Definição no círculo trigonométrico

Quando falamos de ângulos maiores que 90°, como é o caso de 120°, fica mais fácil pensar no círculo trigonométrico. Nesse círculo, cada ângulo corresponde a um ponto no plano cartesiano, e o seno do ângulo é justamente a coordenada y desse ponto.

Em qual quadrante está o ângulo de 120°?

Para entender o valor, primeiro precisamos localizar o ângulo no círculo.

  • O 1º quadrante vai de 0° a 90°
  • O 2º quadrante vai de 90° a 180°
  • O 3º quadrante vai de 180° a 270°
  • O 4º quadrante vai de 270° a 360°

O ângulo de 120° está dentro do 2º quadrante. Isso é importante porque no 2º quadrante o seno é positivo. Ou seja, já sabemos de cara que o resultado não vai ter sinal negativo.

Como calcular o seno de 120 graus

Passo 1 – Ângulo de referência

Para calcular o seno de 120°, usamos um ângulo de referência. Esse ângulo é obtido fazendo:

180°−120°=60°180° – 120° = 60°180°−120°=60°

Ou seja, o seno de 120° terá o mesmo valor do seno de 60°, mas respeitando o sinal do quadrante. Como vimos, no 2º quadrante o seno é positivo.

Passo 2 – Valor tabelado do seno de 60°

O seno de 60° é um valor que vem dos chamados ângulos notáveis (30°, 45° e 60°). Esse valor é:

sin⁡(60°)=32\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}sin(60°)=23

Passo 3 – Resultado final

Portanto, o seno de 120 graus é igual a √3/2, aproximadamente 0,866.

Seno de 120° em comparação com outros ângulos

Para fixar melhor, veja como o seno de 120° se relaciona com outros ângulos:

  • Seno de 30° = 1/2 (0,5)

  • Seno de 45° = √2/2 (0,707)

  • Seno de 60° = √3/2 (0,866)

  • Seno de 90° = 1

  • Seno de 120° = √3/2 (0,866)

Note que o seno de 120° tem o mesmo valor do seno de 60°, só que está em outro quadrante. Essa simetria é uma característica importante da trigonometria.

Por que o resultado é positivo?

Um erro comum dos estudantes é pensar que o seno de 120° seria negativo por estar “depois do 90°”. Mas isso não é verdade.

No círculo trigonométrico, o seno corresponde à coordenada y. Entre 90° e 180°, o eixo y ainda é positivo, por isso o resultado continua positivo. Apenas no 3º e no 4º quadrantes é que o seno se torna negativo.

Aplicações do seno de 120 graus

Você pode achar que isso é só coisa de prova, mas o valor do seno de 120° aparece em várias áreas práticas:

Na física

Em problemas de forças vetoriais, é comum calcular ângulos de 120° entre dois vetores. O seno ajuda a determinar componentes perpendiculares e a resultante dessas forças.

Na engenharia

Muitos cálculos estruturais envolvem simetrias em triângulos equiláteros, e o seno de 120° aparece naturalmente nesses casos.

Na matemática avançada

Em funções trigonométricas periódicas, o seno de 120° faz parte dos valores usados para desenhar gráficos de ondas, como senoides e cossenoides.

Como lembrar facilmente do valor

Uma das maiores dificuldades dos alunos é guardar os valores de seno de cabeça. Para facilitar, aqui vão alguns truques:

  • Lembre que o seno cresce até 90° e depois começa a cair.
  • O seno de 60° e 120° é o mesmo (√3/2), apenas em quadrantes diferentes.
  • Use a frase “meia, raiz de dois sobre dois, raiz de três sobre dois, um” para lembrar a sequência dos valores de 30°, 45°, 60° e 90°.

O seno de 120 graus é √3/2, um número positivo e bastante utilizado em matemática, física e engenharia. Ele se baseia no ângulo de referência de 60° e no fato de que o ângulo está localizado no 2º quadrante do círculo trigonométrico.

Saber esse valor não é apenas decorar uma fórmula, mas entender a lógica por trás: simetria dos quadrantes, sinais e valores tabelados. Com isso, fica muito mais fácil aplicar em exercícios, provas e até problemas do dia a dia que envolvem cálculos de vetores e ondas.

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